De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Re: Gelijkheid van twee limieten aantonen

Gegeven is de rij $(a_n)$ met $n$ een element van de natuurlijke getallen (inclusief 0). Er geldt $a_0 = 1$ en $a_{n+1} = 1 + 1/a_n$.

Gevraagd wordt om te bewijzen dat de volgende limieten hetzelfde zijn: lim k$\to$ oneindig van $a_{2k}$ = lim k $\to$ oneindig van $a_{2k+1}$. Ik heb al aangetoond dat beide rijtjes convergent zijn. Echter lukt het me niet om te bewijzen dat beide limieten hetzelfde zijn (op een formele manier).

Ik heb kunnen bewijzen dat de linkerkant van de gelijkheid als limietwaarde het supremum is van $a_{2k} | k$ een natuurlijk getal} en dat de rechterkant van de gelijkheid als limietwaarde het infimum is van de verzameling $a_{2k+1} | k$ een natuurlijk getal}. We mogen geen gebruik maken van Cauchy rijen.

Antwoord

Als het goed is heb je dus al kunnen laten zien dat de even termen stijgen en dat de oneven termen dalen.
Je zou nu kunnen proberen te laten zien dat $\lim_{k\to\infty}a_{k+1}-a_k=0$.
En wel door $a_{k+1}-a_k$ te relateren aan $a_k-a_{k-1}$:
$$a_{k+1}-a_k = \frac{a_{k-1}-a_k}{a_{k-1}\cdot a_k}
$$

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Rijen en reeksen
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	20-5-2024